Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R^2.
f(x, y)=x y, sujeita à x^2+2 y^2=4

Passo 1

Temos o problema de encontrar os pontos extremos de f(x,y)=xy sujeitos à restrição x²+2y²=4 e também ver se existem extremos de f em ℝ² sem restrição. O conteúdo principal é otimização com multiplicador de Lagrange e, depois, análise de pontos críticos via ∇f=0.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=xy-lambdal(x^2+2y^2-4r)
As condições de primeira ordem são:
partialLpartial x=y-2lambda x=0,
partialLpartial y=x-4lambda y=0,
partialLpartiallambda=-(x^2+2y^2-4)=0

Passo 3

Das duas primeiras igualdades obtemos
y=2lambda x
e
x=4lambda y
Logo
y2x=x4yimplies4y^2=2x^2implies x^2=2y^2

Passo 4

Agora usamos a restrição
x^2+2y^2=4
Substituindo x^2=2y^2 temos
2y^2+2y^2=4implies4y^2=4implies y^2=1implies y=pm1,
então x^2=2 e x=pmraiz2. Os candidatos são
(raiz2,1),;(-raiz2,-1),;(raiz2,-1),;(-raiz2,1)

Passo 5

Calculamos f em cada ponto:
f(raiz2,1)=raiz2,
f(-raiz2,-1)=raiz2,
f(raiz2,-1)=-raiz2,
f(-raiz2,1)=-raiz2
Portanto há máximo de valor raiz2 em ( raiz2,1) e ( -raiz2,-1), e mínimo de valor -raiz2 em ( raiz2,-1) e ( -raiz2,1).

Passo 6

Para o caso sem restrição em ℝ², impondo ∇f=(y,x)=(0,0) obtemos só o ponto (0,0). A matriz Hessiana é
H=0&11&0
com autovalores +1 e -1, logo (0,0) é ponto de sela e não é extremo.

Resposta

No conjunto admissível x²+2y²=4, f tem máximo igual a √2 nos pontos (√2,1) e (−√2,−1) e mínimo igual a −√2 nos pontos (√2,−1) e (−√2,1). Em ℝ² sem restrição, o único ponto crítico é (0,0), que é ponto de sela, ou seja, não há extremos globais nem locais.

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