Encontre os extremantes da função objetivo
no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de
em
.
, sujeita à
Passo 1
Temos o problema de encontrar os pontos extremos de f(x,y)=xy sujeitos à restrição x²+2y²=4 e também ver se existem extremos de f em ℝ² sem restrição. O conteúdo principal é otimização com multiplicador de Lagrange e, depois, análise de pontos críticos via ∇f=0.
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
As condições de primeira ordem são:
Passo 3
Das duas primeiras igualdades obtemos
e
Logo
Passo 4
Agora usamos a restrição
Substituindo
temos
então
e
. Os candidatos são
Passo 5
Calculamos f em cada ponto:
Portanto há máximo de valor
em (
) e (
), e mínimo de valor
em (
) e (
).
Passo 6
Para o caso sem restrição em ℝ², impondo ∇f=(y,x)=(0,0) obtemos só o ponto (0,0). A matriz Hessiana é
com autovalores +1 e -1, logo (0,0) é ponto de sela e não é extremo.
Resposta
No conjunto admissível x²+2y²=4, f tem máximo igual a √2 nos pontos (√2,1) e (−√2,−1) e mínimo igual a −√2 nos pontos (√2,−1) e (−√2,1). Em ℝ² sem restrição, o único ponto crítico é (0,0), que é ponto de sela, ou seja, não há extremos globais nem locais.