Calcule as integrais.
integral0^4 raizy d y

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral definida de raizy de 0 até 4. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a regra da potência para integrar funções. Vamos usar essa regra para resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que vamos integrar. A raiz quadrada de y pode ser escrita como y^1/2. Então, a integral fica assim:
integral0^4 y^1/2 , dy

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da potência para integrais. A regra diz que:
integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C
onde n neq -1 e C é a constante de integração. No nosso caso, n = 12.

Passo 4

Aplicando a regra da potência com n = 12:
integral y^1/2 , dy = y^1/2 + 11/2 + 1 = y^3/23/2 = 23 y^3/2

Passo 5

Agora que encontramos a antiderivada, vamos avaliar essa função nos limites de 0 a 4:
[ 23 y^3/2 ]0^4 = 23 (4)^3/2 - 23 (0)^3/2

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
E
0^3/2 = 0

Passo 7

Substituindo de volta:
23 times 8 - 23 times 0 = 163 - 0 = 163

Resposta

A integral integral0^4 raizy , dy é igual a 163.

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