Calcule , onde é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos e , cuja base no plano é limitada pelas curvas de equações : , é a normal exterior a .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de F através da superfície cilíndrica fechada S limitada por z=0 e z=1 e cuja base no plano xy é uma região D delimitada por quatro arcos circulares. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo de superfície em volume.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que
onde V é o volume abaixo de S (isto é, D×[0,1]).
Passo 3
Calculemos a divergência de
Temos
Passo 4
Como não depende de z, fazemos
Passo 5
A região D é simétrica em relação a x e y, então
Logo
Passo 6
Calculemos a área de D. D é o retângulo acrescido de quatro semicírculos (dois de raio 2 e dois de raio 1), logo
Passo 7
Agora integral duplaDy^2,dA se obtém somando:
retângulo: integral-2^2!dxintegral-1^1y^2dy=8/3,
semicírculos de raio 2 (acima e abaixo): cada um dá 4pi+32/3 na soma dos dois,
semicírculos de raio 1 (à direita e à esquerda): total pi/4.
Somando: 8/3+64/3+8pi+pi/4=24+tfrac33pi4
Passo 8
Finalmente
integral duplaSFcdot n,dS = 2(8+5pi)-l(24+tfrac33pi4r)=16+10pi-24-tfrac33pi4=-8+tfrac7pi4