Calcule integral duplaS(F cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(2 x+x y,-z y, z^22-y^2 z), S é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos z=0 e z=1, cuja base no plano x y é limitada pelas curvas de equações : x^2+(y-1)^2=4, y >= 1 ; x^2+(y+1)^2=4, y <=-1 ;(x-2)^2+y^2=1, x >= 2 ;(x+2)^2+y^2=1, x <=-2, n é a normal exterior a S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através da superfície cilíndrica fechada S limitada por z=0 e z=1 e cuja base no plano xy é uma região D delimitada por quatro arcos circulares. Vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo de superfície em volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
integral duplaSFcdot n,dS = integral triplaVnablacdot F,dV,
onde V é o volume abaixo de S (isto é, D×[0,1]).

Passo 3

Calculemos a divergência de
F(x,y,z) = (2x+xy,,-zy,,tfracz^22-y^2z)
Temos
nablacdot F = partialpartial x(2x+xy)+partialpartial y(-zy)+partialpartial zl(tfracz^22-y^2zr) = 2+y -z + z -y^2 = 2 + y - y^2

Passo 4

Como nablacdot F não depende de z, fazemos
integral duplaSFcdot n,dS = integral0^1!dz integral duplaD(2+y-y^2),dA = integral duplaD(2+y-y^2),dA

Passo 5

A região D é simétrica em relação a x e y, então
integral duplaDy,dA = 0
Logo
integral duplaD(2+y-y^2),dA = 2integral duplaDdA - integral duplaDy^2,dA

Passo 6

Calculemos a área de D. D é o retângulo [-2,2]times[-1,1] acrescido de quatro semicírculos (dois de raio 2 e dois de raio 1), logo
A=underbrace4cdot2retângulo+2l(tfrac12pi,2^2r)+2l(tfrac12pi,1^2r)=8+4pi+pi=8+5piâ

Passo 7

Agora integral duplaDy^2,dA se obtém somando:
  1. retângulo: integral-2^2!dxintegral-1^1y^2dy=8/3,
  2. semicírculos de raio 2 (acima e abaixo): cada um dá 4pi+32/3 na soma dos dois,
  3. semicírculos de raio 1 (à direita e à esquerda): total pi/4.
    Somando: 8/3+64/3+8pi+pi/4=24+tfrac33pi4

Passo 8

Finalmente
integral duplaSFcdot n,dS = 2(8+5pi)-l(24+tfrac33pi4r)=16+10pi-24-tfrac33pi4=-8+tfrac7pi4

Resposta

-8 + \tfrac{7\pi}{4}

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