Encontre a derivada da função.
F(x)=integral0^x t^21+t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t{2}}{1+t{3}} , dt $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos precisar entender como derivar uma função que é uma integral definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral, como $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então a derivada dessa função, $ F’(x) $, é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $. Em outras palavras:
F(x) = integrala^x f(t) , dt

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos $ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t{2}}{1+t{3}} , dt $. Aqui, a função $ f(t) $ dentro da integral é $ \frac{t{2}}{1+t{3}} $.

Passo 4

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para encontrar $ F’(x) $, basta substituir $ t $ por $ x $ na função $ f(t) $. Então:
F'(x)

Resposta

A derivada da função é $ F’(x) = \frac{x{2}}{1+x{3}} $.

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