Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função $ g(x) = \int_{1}^{\sin(x)} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{4}} , dt $. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que se temos uma função definida por uma integral com o limite superior sendo uma função de $ x $, então a derivada dessa função é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite.
Passo 3
No nosso caso, o limite superior é $ \sin(x) $. Então, seguindo o teorema, a derivada de $ g(x) $ será $ \frac{1 - (\sin(x))^{2}}{1 + (\sin(x))^{4}} $ multiplicado pela derivada de $ \sin(x) $.
Passo 4
A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Portanto, juntando tudo, temos:
Resposta
A derivada da função é