Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
Encontre uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial conservativo vec F(x,y) = (e^x+y+1), i + e^x+y, j em R^2. Isso significa que existe uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = vec F, ou seja,

Passo 2

Para encontrar f, usamos a condição sobre a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(x,y) = e^x+y + 1
Integrando em relação a x, temos
f(x,y) = integral (e^x+y+1),dx = e^x+y + x + C(y),
onde C(y) é uma “constante” que pode depender apenas de y.

Passo 3

Agora impomos a condição sobre a derivada parcial em relação a y. Calculamos a partir de f:
partial fpartial y(x,y) = e^x+y + C'(y)
Como deve valer partial f/partial y = e^x+y, concluímos que
C'(y) = 0,
isto é, C(y) é constante.

Passo 4

Logo, podemos escolher a constante igual a zero (ou qualquer valor fixo). A função potencial fica
f(x,y) = e^x+y + x + constante

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=e^x+y+x+ C,
sendo C uma constante arbitrária. Para simplificar, podemos tomar C=0 e escrever
f(x,y)=e^x+y+x

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