Calcule as integrais:
integral1 / 6^1 / 2 csc pi t cot pi t d t

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida de csc(pi t)cot(pi t) de t=1/6 até t=1/2. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas, e vamos usar que a derivada de csc x é -csc xcot x.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a substituição u=pi t, então du=pi,dt e dt=du/pi. Quando t=1/6, u=pi/6; quando t=1/2, u=pi/2. A integral vira
integral1/6^1/2csc(pi t)cot(pi t),dt=1piintegralpi/6^pi/2csc ucot u,du

Passo 3

Sabendo que ddu[csc u]=-csc ucot u, reconhecemos que
integralcsc ucot u,du=-csc u+C

Passo 4

Agora aplicamos os limites na integral definida:
1piintegralpi/6^pi/2csc ucot u,du=1pil[-csc ur]pi/6^pi/2= -1pil(csc(pi/2)-csc(pi/6)r)

Passo 5

Calculando csc(pi/2)=1 e csc(pi/6)=2, temos
-1pi(1-2)=1pi

Resposta

1/pi

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