Calcule as integrais
integral sin ^3 theta cos ^4 theta d theta

Passo 1

Beleza, a integral que queremos é integral sin^3 theta cos^4 theta,dtheta. Como temos potências de seno e cosseno, a ideia é isolar um sintheta para usar substituição e usar a identidade trigonométrica sin^2theta = 1 - cos^2theta.

Passo 2

Usando sin^3theta = sin^2theta,sintheta e sin^2theta = 1 - cos^2theta, reescrevemos a integranda. Temos:
sin^3 theta cos^4 theta = (1 - cos^2 theta)cos^4 theta,sin theta = (cos^4 theta - cos^6 theta),sin theta
Agora fazemos a substituição u = cos theta, o que implica du = -sin theta,dtheta, ou seja sin theta,dtheta = -du. Substituindo na integral:
integral sin^3 theta cos^4 theta,dtheta = integral (cos^4 theta - cos^6 theta)sin theta,dtheta = -integral (u^4 - u^6),du
Agora é só integrar o polinômio em u:
-integral (u^4 - u^6),du = -l(u^55 - u^77r) + C = -u^55 + u^77 + C
Por fim, voltamos para theta substituindo u = cos theta. A antiderivada fica:
cos^7 theta7 - cos^5 theta5 + C

Resposta

cos^7 theta7 - cos^5 theta5 + C

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