Calcule as integrais.
integral1^2 d xx(x^2+4)^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral1^2 dxx,(x^2+4)^2. O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para funções racionais e depois integrar termos do tipo 1/x, x/(x^2+a^2) e x/(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Vamos escrever
1x,(x^2+4)^2 = Ax + Bx+Cx^2+4 + Dx+E(x^2+4)^2
e determinar A,B,C,D,E. Multiplicando ambos os lados por x (x^2+4)^2 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema:
A+B=0, C=0, 8A+4B+D=0, 4C+E=0, 16A=1

Passo 3

Daí
A=tfrac116,;B=-tfrac116,;C=0,;D=-tfrac14,;E=0

Passo 4

Logo
1x(x^2+4)^2 = 116x - 116xx^2+4 - 14x(x^2+4)^2

Passo 5

Agora separamos a integral:
I=integral1^2dxx(x^2+4)^2=116integral1^2dxx-116integral1^2x,dxx^2+4-14integral1^2x,dx(x^2+4)^2

Passo 6

Sabemos que
integralx,dxx^2+4=tfrac12ln(x^2+4)+C, integralx,dx(x^2+4)^2=-12(x^2+4)+C

Passo 7

Então uma primitiva é
F(x)=116ln x-132ln(x^2+4)+18(x^2+4)

Passo 8

Basta avaliar de 1 a 2 e simplificar:
I=F(2)-F(1)=132ln52-3320

Resposta

132ln52-3320.

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