Calcule as integrais.
integral0^infty 1raiz1+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty1raiz1+x,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria em que o limite superior tende a infinito, e vamos precisar usar uma substituição simples e verificar a convergência.

Passo 2

Reconhecemos que integral0^infty1raiz1+x,dx é imprópria por causa do limite infinito. Para resolver, fazemos a troca de variável t=1+x, o que implica dt=dx. Os limites de integração mudam de x=0 para t=1 e de xtoinfty para ttoinfty. Com essa substituição, a integral vira
integral0^infty1raiz1+x,dx = integralt=1^ttoinfty t^-1/2,dt

Passo 3

Sabemos que a antiderivada de t^-1/2 é 2t^1/2. Logo,
integral t^-1/2,dt = 2t^1/2 + C

Passo 4

Agora avaliamos o limite impróprio:
limbtoinfty l[2raiztr]t=1^t=b = limbtoinfty l(2raizb - 2r)
Como limbtoinfty2raizb=infty, o resultado é infinito, mostrando que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge (tende a +\infty).

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