Calcule as integrais.
integral1^epsilon(ln x)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^epsilon(ln x)^2,dx
O conteúdo principal é encontrar uma antiderivada de (ln x)^2 usando integração por partes e depois avaliá-la nos limites x=1 e x=epsilon.

Passo 2

Vamos achar uma antiderivada de (ln x)^2 por partes. Seja
u=(ln x)^2, dv=dx
Então
du=2,ln xx,dx, v=x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral(ln x)^2,dx = x(ln x)^2 - integral xcdot 2,ln xx,dx = x(ln x)^2 -2integral ln x,dx

Passo 4

Para integral ln x,dx usamos de novo partes com
u1=ln x, dv1=dx ;Longrightarrow; du1=1xdx, v1=x
Logo,
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1x,dx = xln x - x

Passo 5

Substituindo de volta,
integral(ln x)^2,dx = x(ln x)^2 -2l(xln x - xr) + C = x(ln x)^2 -2xln x +2x + C

Passo 6

Agora avaliamos de 1 a epsilon:
[x(ln x)^2 -2xln x +2x]1^epsilon = epsilonl((lnepsilon)^2-2lnepsilon+2r) - l(1cdot(0-0+2)r) = epsilonl((lnepsilon)^2-2lnepsilon+2r)-2

Resposta

integral1^epsilon(ln x)^2,dx = epsilonl((lnepsilon)^2-2lnepsilon+2r)-2

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