Use o teorema de Green para calcular
ointC y^2 d x+x d y ,
em que
C é o círculo de raio 2 é centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
ointCy^2,dx + x,dy
ao longo de C, o círculo de raio 2 centrado na origem. Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz
ointCP,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA,
onde D é o disco interior a C. Aqui identificamos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
tfracpartial Qpartial x =tfracpartialpartial x(x)=1, tfracpartial Ppartial y =tfracpartialpartial y(y^2)=2y
Logo o integrando do duplo é
tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial y =1-2y

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCy^2,dx + x,dy =integral duplaD(1-2y),dA =integral duplaD1,dA ;-;2integral duplaDy,dA

Passo 4

O primeiro termo é a área do disco de raio 2:
integral duplaD1,dA =picdot 2^2 =4pi
O segundo termo é o momento de y sobre o disco, mas como y é função ímpar em relação ao eixo x, integra-se a zero:
integral duplaDy,dA=0
Portanto
ointCy^2,dx + x,dy =4pi ;-;2cdot 0 =4pi

Resposta

4pi

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