Use o teorema de Green para calcular
,
em que
é dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva fechada dada por
O conteúdo é o Teorema de Green. Vamos usá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
interior a
.
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Logo a integral de linha vira
Passo 4
Como
é simétrico em relação ao eixo
, o momento
anula-se. Portanto
Passo 5
Restou calcular a área da região
interior à astroide
Sabe-se (ou pode-se derivar por parametrização) que a área de uma astroide
é
Aqui
, então