Use o teorema de Green para calcular
ointC y^2 d x+x d y ,
em que
C é dado por alpha(t)=(2 cos ^3(t), 2 sen^3(t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCy^2,dx + x,dy
onde C é a curva fechada dada por
alpha(t)=l(x(t),y(t)r)=l(2cos^3t,;2sin^3tr), 0<= t<=2pi
O conteúdo é o Teorema de Green. Vamos usá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=x
Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial xpartial x=1, partial Ppartial y =partial (y^2)partial y=2y

Passo 3

Logo a integral de linha vira
ointCy^2,dx + x,dy =integral duplaDl(1-2yr),dA =integral duplaD1,dA;-;2integral duplaDy,dA

Passo 4

Como D é simétrico em relação ao eixo x, o momento
integral duplaDy,dA anula-se. Portanto
ointCy^2,dx + x,dy =integral duplaD1,dA =Área(D) Á

Passo 5

Restou calcular a área da região D interior à astroide
x=2cos^3t, y=2sin^3t
Sabe-se (ou pode-se derivar por parametrização) que a área de uma astroide
x=acos^3t,;y=asin^3t é
Área= 3pi a^28 Á
Aqui a=2, então
Área(D) =3pi,(2)^28 =3picdot48 =3pi2 Á

Resposta

ointCy^2,dx + x,dy =3pi2

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