Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
, que envolve limite na parte superior e uso de substituição para achar a primitiva de
.
Passo 2
Vamos achar a primitiva de
. Fazemos a substituição
, logo
. Assim a integral indefinida fica:
Agora montamos a integral imprópria como limite:
$$\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x},dx=\lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A}\frac{\ln x}{x},dx
=\lim_{A\to\infty}\left[\frac{(\ln x)2}{2}\right]_{1}{A}
=\lim_{A\to\infty}\frac{(\ln A)^2}{2}
=\lim_{A\to\infty}\frac{(\ln A)^2}{2}
$$
Passo 3
Como
quando
, segue que
. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A integral diverge (tende a infinito).