Calcule as integrais.
integral1^infty ln xx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral1^inftyln xx,dx, que envolve limite na parte superior e uso de substituição para achar a primitiva de ln xx.

Passo 2

Vamos achar a primitiva de ln xx. Fazemos a substituição u=ln x, logo du=dxx. Assim a integral indefinida fica:
integralln xx,dx=integral u,du=u^22+C=(ln x)^22+C
Agora montamos a integral imprópria como limite:
$$\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x},dx=\lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A}\frac{\ln x}{x},dx
=\lim_{A\to\infty}\left[\frac{(\ln x)2}{2}\right]_{1}{A}
=\lim_{A\to\infty}\frac{(\ln A)^2}{2}
$$

Passo 3

Como ln Atoinfty quando Atoinfty, segue que (ln A)^22toinfty. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge (tende a infinito).

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