Calcule as integrais.
integral1^6 x^3-x^2+2^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a seguinte:
integral1^6 ( x^3 - x^2 + 2^x ) , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função composta por termos polinomiais ( x^3 e x^2) e uma função exponencial ( 2^x). Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente e depois somar os resultados. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em três partes para facilitar:
integral1^6 x^3 , dx - integral1^6 x^2 , dx + integral1^6 2^x , dx
Isso é possível graças à propriedade da linearidade das integrais, que nos permite separar a integral de uma soma em somas de integrais.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: integral x^3 , dx.
A fórmula para integrar x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar C por enquanto.
Aplicando isso a x^3:
integral x^3 , dx = x^44

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: integral x^2 , dx.
Usando a mesma fórmula:
integral x^2 , dx = x^33

Passo 5

O terceiro termo é um pouco diferente: integral 2^x , dx.
Para integrar funções exponenciais como a^x, usamos a fórmula:
integral a^x , dx = a^xln(a) + C
Aqui, a = 2, então:
integral 2^x , dx = 2^xln(2)

Passo 6

Agora que temos as integrais de cada termo, vamos combinar tudo:
integral1^6 ( x^3 - x^2 + 2^x ) , dx = [ x^44 - x^33 + 2^xln(2) ]1^6
Isso significa que vamos calcular a expressão acima para x = 6 e x = 1 e, em seguida, subtrair os resultados.

Passo 7

Vamos calcular para x = 6:
6^44 - 6^33 + 2^6ln(2) = 12964 - 2163 + 64ln(2)
Simplificando:
= 324 - 72 + 64ln(2)
= 252 + 64ln(2)

Passo 8

Agora, vamos calcular para x = 1:
1^44 - 1^33 + 2^1ln(2) = 14 - 13 + 2ln(2)
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
= 312 - 412 + 2ln(2)
= -112 + 2ln(2)

Passo 9

Finalmente, subtraímos o valor calculado para x = 1 do valor para x = 6:
252 + 64ln(2) - ( -112 + 2ln(2) )
Distribuindo o sinal negativo:
252 + 64ln(2) + 112 - 2ln(2)
Combinando termos semelhantes:
252 + 112 + ( 64ln(2) - 2ln(2) ) = 252 + 112 + 62ln(2)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
252 + 112 + 62ln(2) approx 252.083 + 620.6931 approx 252.083 + 89.503 approx 341.586
Então, integral1^6 ( x^3 - x^2 + 2^x ) , dx approx 341,59.

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