Nutrição O número de gramas de seu sorvete favorito pode ser modelado por
G(x, y, z)=0,05 x^2+0,16 x y+0,25 z^2
em que x é o número de gramas de gordura, y o número de gramas de carboidrato e z o número de gramas de proteína. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o número máximo de gramas de sorvete que você pode comer sem consumir mais do que 400 calorias. Assuma que haja 9 calorias por grama de gordura, 4 calorias por grama de carboidrato e 4 calorias por grama de proteína.

Passo 1

Estamos maximizando a quantidade de sorvete modelada por G(x,y,z)=0,05x2+0,16xy+0,25z2 sujeita à restrição calórica 9x+4y+4z=400. Aqui o conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange L(x,y,z,lambda)=0,05x^2+0,16xy+0,25z^2-lambda(9x+4y+4z-400). As condições de primeira ordem são as derivadas parciais iguais a zero:
0,1x+0,16y=9lambda,0,16x=4lambda,0,5z=4lambda,9x+4y+4z=400

Passo 3

Da segunda equação temos lambda=0,04x, da terceira lambda=0,125z, logo z=0,32x. Da primeira obtemos y=1,625x. Substituindo na restrição calorias:
9x+4(1,625x)+4(0,32x)=400Rightarrow16,78x=400Rightarrow xapprox23,83,yapprox38,74, zapprox7,62

Passo 4

Esse ponto é interior e, na verdade, corresponde a um ponto de mínimo de G sobre a restrição (pois a forma quadrática é indefinida). Logo, o máximo ocorre em fronteiras do domínio (x,y,z≥0).
Analisamos os casos-ponta:
  • x=0 ⇒ y+z=100 ⇒ G=0,25z^2 atinge 2500 quando z=100, y=0.
  • y=0 ⇒ 9x+4z=400 ⇒ G é parabólica côncava para cima, máximo em extremidade x=0 ou z=0, dando 2500 em x=0, z=100.
  • z=0 ⇒ 9x+4y=400 ⇒ G é côncava para baixo, máximo ≈206 em ponto interior, menor que 2500.

Passo 5

Portanto, o valor máximo de G ocorre em (x,y,z)=(0,0,100).

Resposta

2500 g

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