Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
2 y d x+(x y+5 x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
2 y , dx + (x y + 5 x) , dy = 0
Essa questão está no conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações separáveis ou que podem ser simplificadas para esse tipo. Vamos precisar manipular a equação para isolar $ dy $ e $ dx $ e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
2 y , dx + (x y + 5 x) , dy = 0
Podemos organizar os termos para isolar $ dy $ em função de $ dx $:
dy
Dividindo ambos os lados por $ x y + 5 x $, temos:
dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Observe que $ x y + 5 x = x(y + 5) $, então podemos escrever:
x y + 5 x = x(y + 5)
Simplificando a fração:
2 yx(y + 5) , dx = - dy
Podemos reorganizar para deixar as variáveis separadas:
2x cdot yy + 5 , dx = - dy

Passo 4

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
integral (1 + 5y) dy = -2 integral 1x dx
Integrando:
y + 5 ln |y| = -2 ln |x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y + 5 ln y = -2 ln x + C

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