Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
Essa questão está no conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações separáveis ou que podem ser simplificadas para esse tipo. Vamos precisar manipular a equação para isolar $ dy $ e $ dx $ e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos organizar os termos para isolar $ dy $ em função de $ dx $:
Dividindo ambos os lados por $ x y + 5 x $, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Observe que $ x y + 5 x = x(y + 5) $, então podemos escrever:
Simplificando a fração:
Podemos reorganizar para deixar as variáveis separadas:
Passo 4
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: