Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
x y^prime-y=y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial $ x y’ - y = y^{3} $. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, mais especificamente é uma equação de Bernoulli. Para resolvê-la, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado. Dividindo ambos os lados por $ x $, temos:
y'
Essa forma se assemelha a uma equação linear, mas o termo $ y^{3} $ complica um pouco as coisas. É aí que entra a equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
x
No nosso caso, $ P(x) = -\frac{1}{x} $, $ Q(x) = \frac{1}{x} $ e $ n = 3 $.

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
u = y^1 - n = y^-2
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Isso nos permite expressar $ y’ $ em termos de $ u’ $ e $ y $:
x

Passo 4

Substituímos $ y’ $ na equação original:
y'
Podemos multiplicar toda a equação por $ -2 y^{-3} $ para simplificar:
-12 y^3 u' - yx = y^3x
Agora, temos uma equação linear em termos de $ u $, que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Para resolver a equação linear $ u’ + P(x) u = Q(x) $, onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = \frac{2}{x} $, usamos um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
u' + P(x) u = Q(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
P(x) = 2x
Isso simplifica para:
Q(x) = 2x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx (x^2 u) dx = integral 2x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ u $:
u
Lembrando que $ u = y^{-2} $, temos:
u = x^2 + Cx^2 = 1 + Cx^2

Passo 8

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y
Podemos simplificar a constante $ C $ para $ k $, então a solução geral fica:
y = pm 1raiz1 + Cx^2 = pm xraizx^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ y = \pm \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + k}} $, onde $ k $ é a constante de integração.

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