Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial $ x y’ - y = y^{3} $. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, mais especificamente é uma equação de Bernoulli. Para resolvê-la, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado. Dividindo ambos os lados por $ x $, temos:
Essa forma se assemelha a uma equação linear, mas o termo $ y^{3} $ complica um pouco as coisas. É aí que entra a equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, $ P(x) = -\frac{1}{x} $, $ Q(x) = \frac{1}{x} $ e $ n = 3 $.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Isso nos permite expressar $ y’ $ em termos de $ u’ $ e $ y $:
Passo 4
Substituímos $ y’ $ na equação original:
Podemos multiplicar toda a equação por $ -2 y^{-3} $ para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em termos de $ u $, que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Para resolver a equação linear $ u’ + P(x) u = Q(x) $, onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = \frac{2}{x} $, usamos um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ u $:
Lembrando que $ u = y^{-2} $, temos:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Podemos simplificar a constante $ C $ para $ k $, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = \pm \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + k}} $, onde $ k $ é a constante de integração.