Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções polinomiais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver a parte polinomial e saber integrar funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Assim, teremos que resolver cada integral separadamente e depois subtrair os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
Para resolver isso, usamos a substituição. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Substituindo na integral:
Integrando:
Revertendo a substituição $ u = 2x + 1 $:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda parte:
Aqui, usamos uma fórmula básica de integração para funções trigonométricas. Sabemos que:
No nosso caso, $ k = \pi $, então:
Passo 5
Agora, juntando as duas integrais e aplicando os limites de integração de 1 a 6:
Vamos calcular cada parte:
-
Para $ \frac{(2x + 1)^4}{8} $ de 1 a 6:
- Quando $ x = 6 $:
- Quando $ x = 1 $:
- Quando $ x = 6 $:
-
Para $ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} $ de 1 a 6:
- Quando $ x = 6 $:
- Quando $ x = 1 $:
- Quando $ x = 6 $:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O valor da integral é 3560.