Calcule as integrais:
integral1^6(2 x+1)^3-cos (pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral1^6 ( (2x + 1)^3 - cos(pi x) ) , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais que envolvem funções polinomiais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de substituição para resolver a parte polinomial e saber integrar funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^6 (2x + 1)^3 , dx - integral1^6 cos(pi x) , dx
Assim, teremos que resolver cada integral separadamente e depois subtrair os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral (2x + 1)^3 , dx
Para resolver isso, usamos a substituição. Vamos deixar:
u = 2x + 1
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Substituindo na integral:
dudx = 2 Rightarrow dx = du2
Integrando:
integral u^3 cdot du2 = 12 integral u^3 , du
Revertendo a substituição $ u = 2x + 1 $:
12 cdot u^44 + C = u^48 + C

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte:
integral cos(pi x) , dx
Aqui, usamos uma fórmula básica de integração para funções trigonométricas. Sabemos que:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
No nosso caso, $ k = \pi $, então:
k = pi

Passo 5

Agora, juntando as duas integrais e aplicando os limites de integração de 1 a 6:
[ (2x + 1)^48 ]1^6 - [ sin(pi x)pi ]1^6
Vamos calcular cada parte:
  1. Para $ \frac{(2x + 1)^4}{8} $ de 1 a 6:
    • Quando $ x = 6 $: (2x + 1)^48
    • Quando $ x = 1 $: x = 6
  2. Para $ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} $ de 1 a 6:
    • Quando $ x = 6 $: (2 cdot 6 + 1)^48 = 13^48 = 285618
    • Quando $ x = 1 $: x = 1

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
( 285618 - 818 ) - (0 - 0) = 28561 - 818 = 284808 = 3560

Resposta

O valor da integral é 3560.

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