Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=x^2 y^3+x y+2 x y^4.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{2} y^{3} + x y + 2 x y^{4} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas em relação a $ x $ e $ y $, duas vezes cada. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender um pouco sobre derivadas de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ trata $ y $ como constante e vice-versa. Aqui, vamos calcular as derivadas primeiras antes de passarmos para as de segunda ordem.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a $ x $, denotada por $ f_x $:
x

Passo 4

Agora, a primeira derivada parcial em relação a $ y $, denotada por $ f_y $:
y

Passo 5

Agora que temos as derivadas primeiras, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Existem três possibilidades: $ f_{xx} $, $ f_{xy} $, $ f_{yx} $ e $ f_{yy} $. Vamos calcular cada uma delas.

Passo 6

Primeiro, $ f_{xx} $ é a derivada de $ f_x $ em relação a $ x $:
fxx

Passo 7

Segundo, $ f_{xy} $ é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $:
fxy

Passo 8

Terceiro, $ f_{yx} $ é a derivada de $ f_y $ em relação a $ x $:
fyx

Passo 9

Por último, $ f_{yy} $ é a derivada de $ f_y $ em relação a $ y $:
fyy

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
fxx = 2 y^3
fxy = fyx = 6x y^2 + 1 + 8 y^3
fyy = 6x^2 y + 24x y^2

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