Sejam f: R^2 R definida por f(x, y)=x y, u=(a, b), com |u|=1, e (x0, y0) in R^2 um ponto arbitrário de R^2.
Obtenha a derivada direcional de f em (x0, y0), na direção do vetor u, utilizando:
A definição de derivada direcional

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que recebe dois números reais e retorna outro número real. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função em um ponto específico na direção de um vetor que tem comprimento 1 ( ). Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional, que é uma maneira de medir como a função muda à medida que nos movemos na direção do vetor .

Passo 2

A definição de derivada direcional de uma função Du f(x0, y0) = limh to 0 f(x0 + h a, y0 + h b) - f(x0, y0)h no ponto na direção do vetor é dada por:
Aqui, é um número muito pequeno que representa um passo na direção do vetor .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função f(x0 + h a, y0 + h b) = (x0 + h a)(y0 + h b) . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, expandimos a expressão:
(x0 + h a)(y0 + h b) = x0 y0 + x0 h b + y0 h a + h^2 a b
Subtraímos (x0 y0 + x0 h b + y0 h a + h^2 a b) - x0 y0 = x0 h b + y0 h a + h^2 a b da expressão acima:

Passo 5

Dividimos o resultado por x0 h b + y0 h a + h^2 a bh = x0 b + y0 a + h a b e calculamos o limite quando Du f(x0, y0) = x0 b + y0 a tende a 0:
Quando tende a 0, o termo desaparece, ficando:

Resposta

A derivada direcional de Du f(x0, y0) = x0 b + y0 a em na direção do vetor é:

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