Sejam
definida por
, com
, e
um ponto arbitrário de
.
Obtenha a derivada direcional de
em
, na direção do vetor
, utilizando:
A definição de derivada direcional
Obtenha a derivada direcional de
A definição de derivada direcional
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que recebe dois números reais e retorna outro número real. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função em um ponto específico
na direção de um vetor
que tem comprimento 1 (
). Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional, que é uma maneira de medir como a função muda à medida que nos movemos na direção do vetor
.
Passo 2
A definição de derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
é dada por:
Aqui,
é um número muito pequeno que representa um passo na direção do vetor
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, expandimos a expressão:
Subtraímos
da expressão acima:
Passo 5
Dividimos o resultado por
e calculamos o limite quando
tende a 0:
Quando
tende a 0, o termo
desaparece, ficando:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção do vetor
é: