Calcule as integrais:
integralegral duplaD(2+x) ; d A, D é a região limitada pelas curvas dadas por y=1, y=x^3 e x=0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(2+x),dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y=1, y=x^3 e x=0. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar identificar corretamente os limites de integração antes de calcular.

Passo 2

Para montar os limites, note que o ponto de interseção de y=1 e y=x^3 satisfaz x^3=1, ou seja, x=1. Como a fronteira esquerda é x=0, podemos usar a ordem de integração dy,dx com
0<= x<=1, x^3<= y<=1

Passo 3

Agora escrevemos a integral como
integralx=0^1l(integraly=x^3^1(2+x),dyr)dx

Passo 4

Na integração interna em y, como 2+x é constante em relação a y, temos
integraly=x^3^1(2+x),dy=(2+x)l(1-x^3r)

Passo 5

Substituindo na integral externa, fica
integral0^1(2+x)(1-x^3),dx=integral0^1l(2-2x^3+x-x^4r)dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral0^1(2-2x^3+x-x^4)dx=l[2x-tfrac2x^44+tfracx^22-tfracx^55r]0^1

Passo 7

Avaliando em x=1 e subtraindo em x=0, obtemos
2-tfrac24+tfrac12-tfrac15=2-tfrac12+tfrac12-tfrac15=2-tfrac15=tfrac95

Resposta

95

Exercícios relacionados