Calcule as integrais abaixo:
integralegral duplaD(x+3 y) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 2 <= y <= 5 x.

Passo 1

Temos que calcular integral duplaD(x+3y),dA sobre a região D=(x,y)mid0<= x<=1,;2<= y<=5x. O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas, usando integração iterada para polígonos do tipo I.

Passo 2

Para cada x de 0 a 1, y varia de 2 até 5x. Porém, como 2<= y<=5x exige 5x>=2, temos x>=2/5. Logo o domínio efetivo é xin[2/5,1] e yin[2,5x]. Assim montamos
integralx=2/5^1integraly=2^5x(x+3y),dy,dx

Passo 3

Vamos primeiro avaliar a integral interna em y:
integraly=2^5x(x+3y),dy = integral2^5xx,dy + 3integral2^5xy,dy
Como x é constante em relação a y, temos x(y)|2^5x = x(5x-2) e
3cdoty^22|2^5x = 32l((5x)^2 - 2^2r) = 32(25x^2 -4)
Somando,
x(5x-2) + 32(25x^2 -4) = 852x^2 - 2x - 6

Passo 4

Agora integramos esse resultado em x de 2/5 a 1:
integral2/5^1l(852x^2 - 2x - 6r),dx
Fazendo termo a termo:
852cdotx^33 - x^2 - 6x |2/5^1 = l(tfrac856 - 1 - 6r) - l(tfrac856l(tfrac8125r) - tfrac425 - tfrac125r)
Calculando e simplificando cada parte resulta em tfrac44150.

Resposta

44150

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