Calcule as integrais:
integralegral duplaD(2 y-x cos y) d A, D é a região limitada pelas curvas dados por y=0, y=x^2 e x=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=2y - xcos y sobre a região D limitada por y=0, y=x^2 e x=1. Isso envolve usar integrais iteradas e o Teorema de Fubini para trocar a integral dupla por uma sequência de integrais simples.

Passo 2

A região D está entre a parábola y=x^2 e o eixo y=0, para x variando de 0 a 1. Assim, para cada xin[0,1], o y vai de 0 até x^2. Montamos a integral iterada como
integralx=0^1integraly=0^x^2l(2y - xcos yr),dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em y:
integral0^x^22y,dy = l[y^2r]0^x^2 = x^4,
integral0^x^2xcos y,dy = xl[sin yr]0^x^2 = xsin(x^2)
Portanto a integral interna vale x^4 - xsin(x^2).

Passo 4

Agora fazemos a integral em x:
integral0^1x^4,dx = [x^55]0^1 = 15,
$$
\int_{0}{1}x\sin(x2),dx\quadusar a substituiçãou=x^2,;du=2x,dx:$$
integral0^1xsin(x^2),dxusar a substituição u=x^2,;du=2x,dx:

Passo 5

Juntando os resultados:
integral0^1l(x^4 - xsin(x^2)r)dx = 15 - 1-cos12 = 210 - 510 + 5cos110 = 5cos1 - 310

Resposta

5cos1 - 310

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