Calcule as integrais:
integralegral duplaD(x-y+1) ; d A, D é a região limitada pelas curvas dadas por y=0, y=x^3 e x=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x - y + 1),dA, onde D é a região limitada pelas curvas y=0, y=x^3 e x=1. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para trocar o cálculo de área por integrais iteradas.

Passo 2

Para usar Fubini, primeiro descrevemos D em coordenadas (x,y). Note que as curvas y=0 e y=x^3 se intersectam em x=0, e temos ainda a reta x=1. Então em D temos
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^3
Logo a integral fica
integralx=0^1integraly=0^x^3(x - y + 1),dy,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y:
integraly=0^x^3(x - y + 1),dy =integral0^x^3(x+1),dy - integral0^x^3y,dy = (x+1)x^3 - (x^3)^22 = x^4 + x^3 - x^62

Passo 4

Falta integrar em x de 0 a 1:
integral0^1l(x^4 + x^3 - tfracx^62r)dx = l[tfracx^55 + tfracx^44 - tfracx^714r]0^1 = 15 + 14 - 114 = 28 + 35 - 10140 = 53140

Resposta

53140

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