Calcule as integrais:
integralegral duplaD y e^x d A, D é a região limitada pelas curvas dados por y=2, x=y^2 e x=0.

Passo 1

Vamos calcular integral duplaD y e^x,dA, onde o domínio D é limitado pelas curvas y=2, x=y^2 e x=0. O conteúdo aqui é integrais duplas em coordenadas cartesianas, usando integração iterada.

Passo 2

Para descrever o domínio D, notamos que a interseção de x=0 e x=y^2 ocorre em y=0. Assim, temos
D=(x,y)mid 0<= x<= y^2, ;0<= y<= 2,

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dx,dy:
integral duplaD y e^x,dA = integraly=0^2!integralx=0^y^2 y e^x,dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integral0^y^2 y e^x,dx = yl[e^xr]0^y^2 = yl(e^y^2-1r)

Passo 5

Então a integral fica
$$\int_{0}^{2} y\bigl(e{y2}-1\bigr),dy = \int_{0}^{2}y e{y2},dy ;-
; \int_{0}^{2}y,dy.$$

Passo 6

Para integral0^2y e^y^2,dy, usamos a substituição t=y^2, dt=2y,dy:
integral0^2y e^y^2,dy = 12integral0^4e^t,dt = 12l(e^4-1r)

Passo 7

E
integral0^2y,dy = l[y^22r]0^2 = 2

Passo 8

Substituindo esses resultados, obtemos
12(e^4-1) - 2 = e^4-1-42 = e^4-52

Resposta

e^4-52

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