Determine o volume do sólido
formado pelos pontos que estão, simultaneamente, abaixo do parabolóide
e acima da região no plano
limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido S que está abaixo do parabolóide
e acima da região R no plano xy limitada pelas retas
,
e
. O conteúdo principal é usar integrais duplas para calcular volume sob uma superfície.
Passo 2
Para calcular volume usamos a fórmula
Aqui o topo é
e o fundo é a própria região no plano (
), então o integrando é
.
Passo 3
A região R é o triângulo com vértices
,
,
. Em coordenadas cartesianas podemos tomar
Passo 4
Montamos a integral dupla:
Para simplificar, separamos em duas integrais internas: uma com
(constante em
) e outra com
.
Passo 5
Calculamos a integral interna em
:
Logo a parte interna vale
Passo 6
Agora integramos em
:
Expandindo e integrando termo a termo obtemos
Somando dá
.