Determine o volume do sólido S formado pelos pontos que estão, simultaneamente, abaixo do parabolóide z=x^2+y^2+4 e acima da região no plano x y limitada pelas curvas x=0, y=0 e y=-x+2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido S que está abaixo do parabolóide z = x^2 + y^2 + 4 e acima da região R no plano xy limitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = -x + 2. O conteúdo principal é usar integrais duplas para calcular volume sob uma superfície.

Passo 2

Para calcular volume usamos a fórmula
V = integral duplaR (ztopo - zfundo),dA
Aqui o topo é z = x^2 + y^2 + 4 e o fundo é a própria região no plano ( z=0), então o integrando é x^2 + y^2 + 4.

Passo 3

A região R é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (0,2). Em coordenadas cartesianas podemos tomar
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2 - x

Passo 4

Montamos a integral dupla:
V = integralx=0^2 integraly=0^2-x l(x^2 + y^2 + 4r),dy,dx
Para simplificar, separamos em duas integrais internas: uma com x^2+4 (constante em y) e outra com y^2.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y:
integral0^2-x (x^2 + 4),dy = (x^2 + 4)(2 - x),
integral0^2-x y^2,dy = (2 - x)^33
Logo a parte interna vale
(x^2+4)(2 - x) + (2 - x)^33

Passo 6

Agora integramos em x:
V = integral0^2 l[(x^2+4)(2-x) + tfrac(2-x)^33r] dx
Expandindo e integrando termo a termo obtemos
integral0^2(-x^3 + 2x^2 -4x +8),dx = 283,
integral0^2 (2-x)^33,dx = 43
Somando dá tfrac283 + tfrac43 = tfrac323.

Resposta

323

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