Calcule as integrais:
\int\left(\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3 x+5}+\sqrt{x+3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função
\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3x+5}+\sqrt{x+3}.
Ou seja, encontrar
\int\left(\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3 x+5}+\sqrt{x+3}\right)\,dx.
Informações dadas que usaremos: os três termos são somados, então dá para usar a linearidade da integral e tratar cada termo separadamente. Não há condições adicionais (domínio, etc.) no enunciado.

Passo 2

Recordando uma propriedade básica: a integral é linear, portanto
\int\left(\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3 x+5}+\sqrt{x+3}\right)\,dx = \int\frac{1}{x+3}\,dx - \int\frac{2}{3x+5}\,dx + \int\sqrt{x+3}\,dx.
Vou resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 3

Integral do primeiro termo \displaystyle\int\frac{1}{x+3}\,dx.
Explicação/método: a derivada de \ln|u| em relação a u é 1/u. Se u=x+3 então du=dx. Assim
\int\frac{1}{x+3}\,dx=\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln|x+3|+C.
Aqui o C é constante de integração (vou juntá-las no final).

Passo 4

Integral do segundo termo \displaystyle\int\frac{2}{3x+5}\,dx (com o sinal negativo já fora).
Técnica: uso substituição linear porque o denominador é da forma a x+b. Seja u=3x+5. Então du=3\,dx, logo dx=\dfrac{du}{3}.
Aplicando:
\int\frac{2}{3x+5}\,dx =2\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{3} =\frac{2}{3}\int\frac{1}{u}\,du =\frac{2}{3}\ln|u|+C =\frac{2}{3}\ln|3x+5|+C.
Como o termo original tem sinal negativo, a contribuição para a primitiva será -\dfrac{2}{3}\ln|3x+5|.
Observação didática rápida: sempre que tivermos \int \dfrac{1}{a x+b}\,dx com a\neq0, o resultado é \dfrac{1}{a}\ln|a x+b|+C.

Passo 5

Integral do terceiro termo \displaystyle\int\sqrt{x+3}\,dx.
Primeiro reescrevo a raiz como potência:
\sqrt{x+3}=(x+3)^{1/2}.
Como a derivada de x+3 é 1, posso aplicar diretamente a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u=x+3 e n=\tfrac{1}{2}. Assim
\int (x+3)^{1/2}\,dx =\frac{(x+3)^{1/2+1}}{1/2+1}+C =\frac{(x+3)^{3/2}}{3/2}+C =\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}+C.

Passo 6

Agora juntamos as primitivas parciais que encontramos para cada termo. Não esqueça que a constante de integração pode ser tomada uma única vez no final. Somando as contribuições dos três termos obtemos a primitiva buscada (a constante C final agrupa todas as constantes parciais).

Resposta

\ln|x+3|-\dfrac{2}{3}\ln|3x+5|+\dfrac{2}{3}(x+3)^{3/2}+C

Exercícios relacionados