Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função
Ou seja, encontrar
Informações dadas que usaremos: os três termos são somados, então dá para usar a linearidade da integral e tratar cada termo separadamente. Não há condições adicionais (domínio, etc.) no enunciado.
Passo 2
Recordando uma propriedade básica: a integral é linear, portanto
Vou resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 3
Integral do primeiro termo
.
Explicação/método: a derivada de
em relação a
é
. Se
então
. Assim
Aqui o
é constante de integração (vou juntá-las no final).
Passo 4
Integral do segundo termo
(com o sinal negativo já fora).
Técnica: uso substituição linear porque o denominador é da forma
. Seja
. Então
, logo
.
Aplicando:
Como o termo original tem sinal negativo, a contribuição para a primitiva será
.
Observação didática rápida: sempre que tivermos
com
, o resultado é
.
Passo 5
Integral do terceiro termo
.
Primeiro reescrevo a raiz como potência:
Como a derivada de
é
, posso aplicar diretamente a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
e
. Assim
Passo 6
Agora juntamos as primitivas parciais que encontramos para cada termo. Não esqueça que a constante de integração pode ser tomada uma única vez no final. Somando as contribuições dos três termos obtemos a primitiva buscada (a constante
final agrupa todas as constantes parciais).