Calcule as integrais:
\int e^{5 x}+e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{5x}+e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas exponenciais: e^{5x} e e^{-x}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa soma.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int \big(e^{5x}+e^{-x}\big)\,dx = \int e^{5x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
Isto facilita porque agora podemos tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Vou lembrar uma fórmula chave (e explicar por que ela vale): para constante a diferente de zero,
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C.
Justificativa curta e didática: faça a substituição u=ax. Então du=a\,dx, logo dx=\dfrac{du}{a}. Assim
\int e^{ax}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int e^{u}\,du = \frac{1}{a}e^{u}+C = \frac{1}{a}e^{ax}+C.
Outra forma de ver: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}, então para “desfazer” a derivação multiplicamos por 1/a.

Passo 4

Aplicando a fórmula a cada termo:
  • Para \int e^{5x}\,dx, temos a=5, então
\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C_1.
  • Para \int e^{-x}\,dx, temos a=-1, então
\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1}e^{-x} + C_2 = -e^{-x} + C_2.

Passo 5

Somando as duas primitivas e juntando as constantes em uma só constante C, obtemos a primitiva geral
\frac{1}{5}e^{5x}-e^{-x}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): dérivez a resposta para checar. Derivando \dfrac{1}{5}e^{5x}-e^{-x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5}e^{5x}\right)=\frac{1}{5}\cdot5e^{5x}=e^{5x}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(-e^{-x}\right)=-(-1)e^{-x}=e^{-x}.
Somando dá exatamente e^{5x}+e^{-x}, então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x}-e^{-x}+C

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