Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função dada. As informações do enunciado são:
- A integral a calcular é
.
Passo 2
Estratégia básica (propriedades que vou usar):
- A integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
. - A regra do poder (power rule) para integrais: para
,
onde
é um número real (expoente) e
é a constante de integração. Vou aplicar essa regra termo a termo.
Passo 3
Primeiro passo prático: escrever tudo como potência de
, para aplicar a regra do poder facilmente.
-
. -
.
Portanto a integral vira
Passo 4
Integrando o primeiro termo
:
- Aqui
. Aplicando a fórmula,
Expliquei: some 1 ao expoente (4→5) e divida por esse novo expoente (5).
Passo 5
Integrando o segundo termo
(que veio de
):
- Aqui
. Aplicando a fórmula,
- Dividir por
é o mesmo que multiplicar por , logo
Observação prática:
, se preferir visualizar assim.
Passo 6
Integrando o terceiro termo
(que veio de
):
- Aqui
. Aplicando a fórmula (lembre que , e , então vale):
- Isso pode ser reescrito como
Passo 7
Somando os resultados termo a termo e incluindo a constante de integração
:
Passo 8
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando.
- Derivando
dá . - Derivando
dá . - Derivando
(que é ) dá .
Assim recupera-se o integrando, confirmando que a primitiva está correta.