Calcule as integrais:
\int\left(x^{4}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função dada. As informações do enunciado são:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int\left(x^{4}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.

Passo 2

Estratégia básica (propriedades que vou usar):
  • A integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja, \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
  • A regra do poder (power rule) para integrais: para \,n\neq-1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real (expoente) e C é a constante de integração. Vou aplicar essa regra termo a termo.

Passo 3

Primeiro passo prático: escrever tudo como potência de x, para aplicar a regra do poder facilmente.
  • \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \displaystyle \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
    Portanto a integral vira
\displaystyle \int\left(x^{4}+x^{1/2}+x^{-3}\right)\,dx.

Passo 4

Integrando o primeiro termo \displaystyle x^{4}:
  • Aqui n=4. Aplicando a fórmula,
\displaystyle \int x^{4}\,dx=\frac{x^{4+1}}{4+1}=\frac{x^{5}}{5}.
Expliquei: some 1 ao expoente (4→5) e divida por esse novo expoente (5).

Passo 5

Integrando o segundo termo \displaystyle x^{1/2} (que veio de \sqrt{x}):
  • Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula,
\displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}.
  • Dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, logo
\displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Observação prática: x^{3/2}=x\sqrt{x}, se preferir visualizar assim.

Passo 6

Integrando o terceiro termo \displaystyle x^{-3} (que veio de 1/x^{3}):
  • Aqui n=-3. Aplicando a fórmula (lembre que n\neq-1, e -3\neq-1, então vale):
\displaystyle \int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2}}{-2}.
  • Isso pode ser reescrito como
\displaystyle \int x^{-3}\,dx=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 7

Somando os resultados termo a termo e incluindo a constante de integração C:
\displaystyle \int\left(x^{4}+\sqrt{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{2x^{2}}+C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando.
  • Derivando \displaystyle \frac{x^{5}}{5} \,x^{4}.
  • Derivando \displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2} \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}.
  • Derivando \displaystyle -\frac{1}{2x^{2}} (que é -\tfrac{1}{2}x^{-2}) dá \,-\tfrac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}=\tfrac{1}{x^{3}}.
    Assim recupera-se o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{5}}{5}+\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{2x^{2}}+C

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