Questão 2: O lado da base de um prisma hexagonal regular está diminuindo em uma taxa de
enquanto sua altura está aumentando em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do prisma está variando quando o lado da base é 30 cm e a altura é 45 cm ? (Lembrando: a área de um hexágono regular de lado l é dada por
.)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se a taxa de variação do volume do prisma hexagonal naquele instante, isto é, o valor de
quando o lado da base vale e a altura vale . - Informações fornecidas:
- A área da base (hexágono regular de lado
) é . - O volume do prisma é o produto da área da base pela altura
, ou seja . - A taxa de variação do lado é
(o lado está diminuindo). - A taxa de variação da altura é
(a altura está aumentando). - Valores no instante pedido:
e .
- A área da base (hexágono regular de lado
Passo 2
Escrever a fórmula do volume em função de
e
.
A área da base é
.
Portanto o volume do prisma é
Portanto o volume do prisma é
Vou manter tudo explícito para poder derivar em relação ao tempo
.
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aula rápida e prática).
- Regra do produto: se
e são funções de , então
No nosso caso
é produto de algo que depende de
e de
.
- Regra da cadeia (aplicada a potências): se
, então
Isto porque primeiro vê-se
como função de
e depois
como função de
.
Passo 4
Derivar
em relação ao tempo
usando produto e cadeia.
Partimos de
A constante
sai da derivada, então
Agora aplicamos a regra do produto a
e
:
Pela regra da cadeia para
,
Substituindo:
Logo, juntando tudo,
Passo 5
Simplificar a expressão algébrica antes de substituir números.
Dentro do parêntese há um fator
que cancela com o denominador no primeiro termo:
Isto é
Passo 6
Substituir os valores numéricos fornecidos e calcular passo a passo (todas as quantidades estão em
e
, então o resultado ficará em
).
Dados:
,
,
,
. Vou manter
simbólico e simplificar os inteiros.
Primeiro termo:
Calcular os inteiros:
,
,
. Portanto o primeiro termo vale
Segundo termo:
Calcular os inteiros:
,
,
, e dividir por
dá
. Portanto o segundo termo vale
Somando os dois termos:
Unidade: como
é volume e usamos
e
, a unidade é
.
Interpretação curta: o sinal negativo indica que, naquele instante, o volume do prisma está diminuindo.