Questão 2: O lado da base de um prisma hexagonal regular está diminuindo em uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} enquanto sua altura está aumentando em uma taxa de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Em qual taxa o volume do prisma está variando quando o lado da base é 30 cm e a altura é 45 cm ? (Lembrando: a área de um hexágono regular de lado l é dada por \frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}.)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a taxa de variação do volume do prisma hexagonal naquele instante, isto é, o valor de \dfrac{dV}{dt} quando o lado da base vale \,30\\ \mathrm{cm} e a altura vale \,45\\ \mathrm{cm}.
  • Informações fornecidas:
    • A área da base (hexágono regular de lado l) é \displaystyle A(l)=\frac{3\,l^{2}\sqrt{3}}{2}.
    • O volume do prisma é o produto da área da base pela altura h, ou seja V=A\cdot h.
    • A taxa de variação do lado é \displaystyle \frac{dl}{dt}=-2\\ \mathrm{cm/s} (o lado está diminuindo).
    • A taxa de variação da altura é \displaystyle \frac{dh}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s} (a altura está aumentando).
    • Valores no instante pedido: \,l=30\\ \mathrm{cm} e \,h=45\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Escrever a fórmula do volume em função de l e h.
A área da base é \displaystyle A(l)=\frac{3\,l^{2}\sqrt{3}}{2}.
Portanto o volume do prisma é
V(l,h)=A(l)\,h=\frac{3\,l^{2}\sqrt{3}}{2}\,h.
Vou manter tudo explícito para poder derivar em relação ao tempo t.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções de t, então
\frac{d}{dt}\big(u v\big)=\frac{du}{dt}\,v+u\,\frac{dv}{dt}.
No nosso caso V é produto de algo que depende de l(t) e de h(t).
  • Regra da cadeia (aplicada a potências): se l=l(t), então
\frac{d}{dt}\big(l^{2}\big)=2\,l\,\frac{dl}{dt}.
Isto porque primeiro vê-se l^{2} como função de l e depois l como função de t.

Passo 4

Derivar V(l,h) em relação ao tempo t usando produto e cadeia.
Partimos de
V(l,h)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}h.
A constante \dfrac{3\sqrt{3}}{2} sai da derivada, então
\frac{dV}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,\frac{d}{dt}\big(l^{2}h\big).
Agora aplicamos a regra do produto a l^{2} e h:
\frac{d}{dt}\big(l^{2}h\big)=\frac{d}{dt}\big(l^{2}\big)\,h + l^{2}\,\frac{dh}{dt}.
Pela regra da cadeia para l^{2},
\frac{d}{dt}\big(l^{2}\big)=2\,l\,\frac{dl}{dt}.
Substituindo:
\frac{d}{dt}\big(l^{2}h\big)=2\,l\,\frac{dl}{dt}\,h + l^{2}\,\frac{dh}{dt}.
Logo, juntando tudo,
\frac{dV}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\!\left(2\,l\,h\,\frac{dl}{dt} + l^{2}\,\frac{dh}{dt}\right).

Passo 5

Simplificar a expressão algébrica antes de substituir números.
Dentro do parêntese há um fator 2 que cancela com o denominador no primeiro termo:
\frac{dV}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2\,l\,h\,\frac{dl}{dt} \;+\; \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}\,\frac{dh}{dt}.
Isto é
\frac{dV}{dt}=3\sqrt{3}\;l\,h\,\frac{dl}{dt} \;+\; \frac{3\sqrt{3}}{2}\;l^{2}\,\frac{dh}{dt}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos fornecidos e calcular passo a passo (todas as quantidades estão em \mathrm{cm} e \mathrm{cm/s}, então o resultado ficará em \mathrm{cm^{3}/s}).
Dados: \,l=30, \,h=45, \dfrac{dl}{dt}=-2, \dfrac{dh}{dt}=3. Vou manter \sqrt{3} simbólico e simplificar os inteiros.
Primeiro termo:
3\sqrt{3}\;l\,h\,\frac{dl}{dt} =3\sqrt{3}\times 30\times 45\times(-2).
Calcular os inteiros: 3\times 30=90, 90\times 45=4050, 4050\times(-2)=-8100. Portanto o primeiro termo vale
-8100\sqrt{3}.
Segundo termo:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\;l^{2}\,\frac{dh}{dt} =\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 30^{2}\times 3.
Calcular os inteiros: 30^{2}=900, 3\times 900=2700, 2700\times 3=8100, e dividir por 2 4050. Portanto o segundo termo vale
4050\sqrt{3}.
Somando os dois termos:
\frac{dV}{dt} = -8100\sqrt{3} + 4050\sqrt{3} = -4050\sqrt{3}.
Unidade: como V é volume e usamos \mathrm{cm} e \mathrm{s}, a unidade é \mathrm{cm^{3}/s}.
Interpretação curta: o sinal negativo indica que, naquele instante, o volume do prisma está diminuindo.

Resposta

-4050\sqrt{3}\\ \mathrm{cm^{3}/s}

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