Calcule as integrais:
\int\left(x^{1 / 2}+x^{3 / 2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
f(x)=x^{1/2}+x^{3/2}.
O conteúdo principal aqui é a regra de potência para integrais, que diz que, para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplicando a regra de potência ao termo x^{1/2}:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{\,1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 3

Aplicando a regra de potência ao termo x^{3/2}:
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{\,3/2+1}}{3/2+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.

Passo 4

Como a integral da soma é a soma das integrais, juntamos os resultados e incluímos a constante de integração C:
\int\bigl(x^{1/2}+x^{3/2}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} + \frac{2}{5}\,x^{5/2} + C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C

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