Use substituição trigonométrica para resolver:
\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1}{(x^{2}+4)^{3/2}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a mudança de variável adequada para expressar x^{2}+4 em função de uma razão trigonométrica.

Passo 2

Escolhendo
x = 2\tan\theta,
temos
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad x^{2}+4 = 4\tan^{2}\theta+4 = 4\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo,
(x^{2}+4)^{3/2} = \bigl(4\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2} = 8\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo no integrando,
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{3/2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{8\operatorname{sec}^{3}\theta} = \frac{1}{4}\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \theta:
\frac{1}{4}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\sin\theta + C.

Passo 5

Fazendo a substituição inversa, de \tan\theta = \tfrac{x}{2} obtemos
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Portanto,
\frac{1}{4}\sin\theta + C = \frac{1}{4}\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} + C.

Resposta

\frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}} + C

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