Calcule as integrais:
\int\left(3 x^{2}+5 x+26 \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x)+\frac{3}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(3x^2 + 5x + 26\operatorname{sec}(x)\tan(x) + \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve:
– regra do polinômio \int x^n\,dx,
– integral de \operatorname{sec}(x)\tan(x),
– integral de 1/x.

Passo 2

Integramos a parte polinomial usando \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
\int 3x^2\,dx = 3\cdot \frac{x^3}{3} = x^3, \quad \int 5x\,dx = 5\cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2.

Passo 3

Para \displaystyle \int 26\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx usamos que \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x.
\int 26\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx = 26\operatorname{sec}(x).

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx reconhecemos \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.
\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Somamos todas as partes e acrescentamos a constante de integração C:
x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 26\operatorname{sec}(x) + 3\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 26\operatorname{sec}(x) + 3\ln\lvert x\rvert + C

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