Calcule as integrais:
\int\left(\cos (x)+\frac{2}{x^{2}}-\operatorname{sec} ^{2}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\cos(x)+\frac{2}{x^{2}}-\operatorname{sec}^{2}(x)\Bigr)\,dx.
O conteúdo usado será a linearidade da integral (podemos integrar termo a termo) e as fórmulas básicas:
  1. \displaystyle\int \cos(x)\,dx = \sin(x).
  2. \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (regra de potência).
  3. \displaystyle\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x).

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral para separar em três integrais:
\int\cos(x)\,dx \;+\;\int\frac{2}{x^{2}}\,dx \;-\;\int\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.

Passo 3

Calculemos a primeira integral:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x).

Passo 4

Para a segunda, note que \tfrac{2}{x^{2}} = 2x^{-2}. Aplicando a regra de potência com n=-2:
\int 2x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1} =2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} =-2x^{-1} =-\frac{2}{x}.

Passo 5

A terceira integral é
\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x),
logo, com o sinal negativo,
-\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = -\tan(x).

Passo 6

Somando os resultados obtidos:
\sin(x)\;-\;\frac{2}{x}\;-\;\tan(x)\;+\;C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int\Bigl(\cos(x)+\frac{2}{x^{2}}-\operatorname{sec}^{2}(x)\Bigr)\,dx =\sin(x)-\frac{2}{x}-\tan(x)+C.

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