Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e .
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica e muito útil das integrais: a linearidade. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
Isto nos permite tratar cada parcela separadamente, o que simplifica muito o cálculo.
Passo 3
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) das funções componentes.
- Regra para
: uma primitiva é . Como o intervalo tem , podemos usar .
Explicação rápida: a derivada deé , por isso é uma antiderivada de . - Regra para
: uma primitiva de é porque a derivada de é .
Assim, paraa primitiva é , pois constantes multiplicam a primitiva.
Portanto uma primitiva comum
para toda a integranda é
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é a diferença das primitivas avaliadas nos extremos:
Passo 5
Avaliar
em
e
:
pois
,
e
e
pois
.
Passo 6
Fazer a subtração
:
Agrupando os termos constantes:
Logo
Passo 7
Interpretação final rápida: obtivemos um valor exato e simples em termos de
. Está tudo certo — não foi necessário aproximação numérica.