Calcule as integrais definidas:
\int_{1}^{e}\left(\frac{1}{x}+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e}\left(\frac{1}{x}+3x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=e.
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: \dfrac{1}{x} e 3x.
    Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica e muito útil das integrais: a linearidade. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
\int_{1}^{e}\left(\frac{1}{x}+3x\right)\,dx = \int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx + \int_{1}^{e}3x\,dx.
Isto nos permite tratar cada parcela separadamente, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) das funções componentes.
  • Regra para \dfrac{1}{x}: uma primitiva é \ln|x|. Como o intervalo [1,e] tem x>0, podemos usar \ln x.
    Explicação rápida: a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, por isso \ln x é uma antiderivada de \dfrac{1}{x}.
  • Regra para x: uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2} porque a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x.
    Assim, para 3x a primitiva é 3\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{3x^{2}}{2}, pois constantes multiplicam a primitiva.
Portanto uma primitiva comum F(x) para toda a integranda é
F(x)=\ln x+\frac{3x^{2}}{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é a diferença das primitivas avaliadas nos extremos:
\int_{1}^{e}\left(\frac{1}{x}+3x\right)\,dx = F(e)-F(1).

Passo 5

Avaliar F(x) em x=e e x=1:
F(e)=\ln e+\frac{3e^{2}}{2}=1+\frac{3e^{2}}{2},
pois \ln e = 1,
e
F(1)=\ln 1+\frac{3\cdot 1^{2}}{2}=0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2},
pois \ln 1 = 0.

Passo 6

Fazer a subtração F(e)-F(1):
F(e)-F(1)=\left(1+\frac{3e^{2}}{2}\right)-\frac{3}{2}.
Agrupando os termos constantes:
1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}.
Logo
F(e)-F(1)=-\frac{1}{2}+\frac{3e^{2}}{2}=\frac{3e^{2}-1}{2}.

Passo 7

Interpretação final rápida: obtivemos um valor exato e simples em termos de e. Está tudo certo — não foi necessário aproximação numérica.

Resposta

\dfrac{3e^{2}-1}{2}

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