Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+3 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+3x+5\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é um polinômio simples, soma de três termos: \,x^{2}, \,3x e \,5.
  • Não foi dada nenhuma condição adicional (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Conceito importante: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx, \qquad \int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Vou usar isso para tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Ferramenta principal: a regra do poder (power rule) para antiderivadas. Para todo n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente e C é a constante de integração. Por que isso funciona? Porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
ou seja, a derivada da primitiva retorna a função original.
Também vale a regra para constantes: se a é constante então
\int a\,dx = a x + C,
pois a derivada de a x é a.

Passo 4

Aplicando linearidade e a regra do poder ao primeiro termo \,x^{2}:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{1},
onde usei n=2 na fórmula \int x^{n}dx.

Passo 5

Agora o segundo termo \,3x. Primeiro tiro a constante 3 para fora da integral:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx.
Aplicando a regra do poder com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},
logo
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}+C_{2}.

Passo 6

O terceiro termo é a constante 5. Usando a regra para constantes:
\int 5\,dx=5x+C_{3}.

Passo 7

Somando as integrais parciais (e juntando as constantes C_{1},C_{2},C_{3} numa única constante C), obtemos a primitiva da soma:
\int\left(x^{2}+3x+5\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x+C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta deve voltar o integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x+C\right) = x^{2}+3x+5,
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}, \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{3}{2}x^{2}\right)=3x, \dfrac{d}{dx}(5x)=5 e \dfrac{d}{dx}C=0. Está correto — você mandou bem ao acompanhar cada passo!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x+C

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