Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é um polinômio simples, soma de três termos:
, e . - Não foi dada nenhuma condição adicional (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Conceito importante: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Vou usar isso para tratar cada termo separadamente.
Passo 3
Ferramenta principal: a regra do poder (power rule) para antiderivadas. Para todo
,
onde
é o expoente e
é a constante de integração. Por que isso funciona? Porque, ao derivar
, obtém-se
ou seja, a derivada da primitiva retorna a função original.
Também vale a regra para constantes: se
é constante então
pois a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando linearidade e a regra do poder ao primeiro termo
:
onde usei
na fórmula
.
Passo 5
Agora o segundo termo
. Primeiro tiro a constante
para fora da integral:
Aplicando a regra do poder com
:
logo
Passo 6
O terceiro termo é a constante
. Usando a regra para constantes:
Passo 7
Somando as integrais parciais (e juntando as constantes
numa única constante
), obtemos a primitiva da soma:
Passo 8
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta deve voltar o integrando.
pois
,
,
e
. Está correto — você mandou bem ao acompanhar cada passo!