Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo: primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a
:
O que precisamos saber aqui:
- Quando integramos em relação a
, consideramos como uma constante, já que é uma função de .
Então, podemos tirar
para fora da integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar o
para fora da integral:
O que precisamos saber aqui:
- A integral de
em relação a é .
Então, vamos integrar:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Sabemos que
, então:
Multiplicando pelo
:
Resposta
A integral iterada vale: