Calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integral0^1 y sen x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla:
integral0^2 integral0^1 y cdot sin(x) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo: primeiro em relação a y e depois em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a y :
integral0^1 y cdot sin(x) , dy
O que precisamos saber aqui:
  • Quando integramos em relação a y , consideramos sin(x) como uma constante, já que é uma função de x .
Então, podemos tirar sin(x) para fora da integral:
sin(x) cdot integral0^1 y , dy
Agora, vamos integrar y em relação a y :
integral y , dy = y^22
Aplicando os limites de 0 a 1:
1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12
Portanto, a integral interna fica:
sin(x) cdot 12 = sin(x)2

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 sin(x)2 , dx
Podemos tirar o 12 para fora da integral:
12 cdot integral0^2 sin(x) , dx
O que precisamos saber aqui:
  • A integral de sin(x) em relação a x é -cos(x) .
Então, vamos integrar:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Aplicando os limites de 0 a 2:
-cos(2) + cos(0)
Sabemos que cos(0) = 1 , então:
-cos(2) + 1 = 1 - cos(2)
Multiplicando pelo 12 :
1 - cos(2)2

Resposta

A integral iterada vale:
1 - cos(2)2

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