Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem:
(a) Se
para todo
, mostre que a solução é
onde
é constante.
(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da equação é da forma
onde
é agora uma função de
. Substituindo essa solução na equação diferencial, mostre que
tem que satisfazer a condição
.
(c) Encontre
de (b). Depois mostre que
onde
é uma constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial. Compare esse resultado com o Teorema 2.1.1
(a) Se
onde
(b) Se
onde
(c) Encontre
onde
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO linear de 1ª ordem
No item (a) consideramos o caso homogêneo
e mostramos que
Nos itens (b) e (c) usamos o método de variação de parâmetros, supondo
e encontrando uma condição para
.
Passo 2
Para
a equação fica
que é separável. Escrevendo
e separando variáveis:
Integrando ambos os lados,
com
constante arbitrária.
Passo 3
Agora suponha
. Diferenciando:
Substituindo em
, temos
logo
Passo 4
Integramos
Substituindo em
obtemos
que é exatamente a solução geral obtida pelo fator integrante (Teorema 2.1.1).
Resposta
onde
é constante arbitrária.