Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear geral de primeira ordem:
y^prime+p(t) y=g(t)
(a) Se g(t)=0 para todo t, mostre que a solução é
y=A exp [-integral p(t) d t]
onde A é constante.
(b) Se g(t) não for identicamente nula, suponha que a solução da equação é da forma
y=A(t) exp [-integral p(t) d t]
onde A é agora uma função de t. Substituindo essa solução na equação diferencial, mostre que A(t) tem que satisfazer a condição
A^prime(t)=g(t) exp [integral p(t) d t].
(c) Encontre A(t) de (b). Depois mostre que
y=A exp [-integral p(t) d t]
onde A é uma constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial. Compare esse resultado com o Teorema 2.1.1

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de 1ª ordem
y'+p(t),y=g(t)
No item (a) consideramos o caso homogêneo g(t)=0 e mostramos que
y=Aexpl[-integral p(t),dtr]
Nos itens (b) e (c) usamos o método de variação de parâmetros, supondo
y=A(t)expl[-integral p(t),dtr],
e encontrando uma condição para A(t).

Passo 2

Para g(t)=0 a equação fica
y'+p(t),y=0,
que é separável. Escrevendo dydt=-p(t),y e separando variáveis:
dyy=-p(t),dt
Integrando ambos os lados,
ln|y|=-integral p(t),dt+CLongrightarrow y=Aexpl[-integral p(t),dtr],
com A=e^C constante arbitrária.

Passo 3

Agora suponha y=A(t)exp[-integral p(t),dt]. Diferenciando:
y' = A'(t)expl[-integral pr] + A(t)ddtl(e^-integral pr) = A',e^-integral p - A,p(t),e^-integral p
Substituindo em y'+p,y=g, temos
l(A' - A,p + A,pr)e^-integral p = A'(t),e^-integral p = g(t),
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A'(t)=g(t),expl[integral p(t),dtr]

Passo 4

Integramos
A(t)=integral g(t),expl[integral p(t),dtr],dt + C
Substituindo em
y = A(t)expl[-integral p(t),dtr]
obtemos
y=expl[-integral pr]l(integral g,e^integral p,dt + Cr) = C,e^-integral p + e^-integral pintegral g,e^integral p,dt,
que é exatamente a solução geral obtida pelo fator integrante (Teorema 2.1.1).

Resposta

y(t)=expl[-integral p(t),dtr]l(integral g(t),expl[integral p(t),dtr],dt + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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