Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral-infty^+infty(x d x(x^2+1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria que vai de -infty a +infty da função x(x^2+1)^2 dx. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias e funções racionais. Para resolver, vamos precisar verificar se essa integral converge e, se sim, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: x(x^2+1)^2. Essa é uma função racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Dado que o denominador tem grau maior que o numerador, podemos esperar que a função se comporte bem no infinito, o que é bom para verificar a convergência da integral.

Passo 3

Agora, vamos pensar na simetria da função. Observe que o numerador é x, que é uma função ímpar (ou seja, f(-x) = -f(x)), e o denominador é (x^2+1)^2, que é uma função par (ou seja, f(-x) = f(x)). Então, a função inteira x(x^2+1)^2 é ímpar.

Passo 4

Uma propriedade importante das funções ímpares é que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero (como de -A a A) é igual a zero. Como estamos integrando de -infty a +infty, que é um intervalo simétrico, a integral da nossa função ímpar também será zero, desde que a integral converja.

Passo 5

Para garantir que a integral realmente converge, precisamos verificar o comportamento da função no infinito. Como o denominador cresce mais rápido que o numerador (grau 4 no denominador vs. grau 1 no numerador), a função tende a zero quando x tende a pminfty. Isso indica que não há problemas de divergência na integral.

Resposta

A integral imprópria integral-infty^+infty(x, dx(x^2+1)^2) converge e seu valor é 0.

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