Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria que vai de
a
da função
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias e funções racionais. Para resolver, vamos precisar verificar se essa integral converge e, se sim, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa é uma função racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Dado que o denominador tem grau maior que o numerador, podemos esperar que a função se comporte bem no infinito, o que é bom para verificar a convergência da integral.
Passo 3
Agora, vamos pensar na simetria da função. Observe que o numerador é
, que é uma função ímpar (ou seja,
), e o denominador é
, que é uma função par (ou seja,
). Então, a função inteira
é ímpar.
Passo 4
Uma propriedade importante das funções ímpares é que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero (como de
a
) é igual a zero. Como estamos integrando de
a
, que é um intervalo simétrico, a integral da nossa função ímpar também será zero, desde que a integral converja.
Passo 5
Para garantir que a integral realmente converge, precisamos verificar o comportamento da função no infinito. Como o denominador cresce mais rápido que o numerador (grau 4 no denominador vs. grau 1 no numerador), a função tende a zero quando
tende a
. Isso indica que não há problemas de divergência na integral.
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.