Dado o seguinte sistema
Descreva o comportamento das soluções quando
e verifique se são linearmente independentes (I.i).
Descreva o comportamento das soluções quando
Passo 1
O sistema é de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, ou seja,
com
. Para resolver precisamos encontrar autovalores e autovetores de
, montar a solução geral e então analisar o comportamento para
e verificar a independência linear das soluções fundamentais.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo os autovalores são
e
.
Passo 3
Para cada autovalor encontramos o autovetor não-nulo
tal que
:
Para :
Para
Para
:
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções de cada autovalor:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Para estudar
, note que o termo
cresce exponencialmente e o termo
decai. Assim, quando
, geralmente
, ou seja, as soluções crescem sem limite, a não ser que
(caso em que a solução decai a zero).
Passo 6
Para verificar a independência linear das duas soluções fundamentais usamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é não-nulo para todo
, as soluções são linearmente independentes."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[“O sistema é de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, ou seja,
com
. Para resolver precisamos encontrar autovalores e autovetores de
, montar a solução geral e então analisar o comportamento para
e verificar a independência linear das soluções fundamentais.”,
Resposta
As soluções gerais são
e
. Para
o termo
domina e as soluções crescem exponencialmente (a menos que a constante associada a
seja zero), e o Wronskiano constante
mostra que
e
são linearmente independentes.