Dado o seguinte sistema
X^prime(t)=(ll2 & -1 3 & -2) X(t)
Descreva o comportamento das soluções quando t infty e verifique se são linearmente independentes (I.i).

Passo 1

O sistema é de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, ou seja, X'(t)=A X(t) com A=2 & -13 & -2. Para resolver precisamos encontrar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e então analisar o comportamento para ttoinfty e verificar a independência linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det2-lambda & -13 & -2-lambda=(2-lambda)(-2-lambda)+3=lambda^2-1=0
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1.

Passo 3

Para cada autovalor encontramos o autovetor não-nulo v tal que (A-lambda I)v=0:
Para lambda1=1:
1 & -13 & -3v=0implies v1=11
Para lambda2=-1:
3 & -13 & -1v=0implies v2=13

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções de cada autovalor:
X(t)=C1e^t11+C2e^-t13,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para estudar ttoinfty, note que o termo e^t cresce exponencialmente e o termo e^-t decai. Assim, quando ttoinfty, geralmente X(t)sim C1e^t(1,1)^T, ou seja, as soluções crescem sem limite, a não ser que C1=0 (caso em que a solução decai a zero).

Passo 6

Para verificar a independência linear das duas soluções fundamentais usamos o Wronskiano:
W(t)=dete^t & e^-te^t &3e^-t=3e^t e^-t-e^t e^-t=2ne0
Como o Wronskiano é não-nulo para todo t, as soluções são linearmente independentes."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[“O sistema é de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, ou seja, X'(t)=A X(t) com A=2 & -13 & -2. Para resolver precisamos encontrar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e então analisar o comportamento para ttoinfty e verificar a independência linear das soluções fundamentais.”,

Resposta

As soluções gerais são
X1(t)=e^t(1,1)^T e X2(t)=e^-t(1,3)^T. Para ttoinfty o termo e^t domina e as soluções crescem exponencialmente (a menos que a constante associada a X1 seja zero), e o Wronskiano constante 2 mostra que X1 e X2 são linearmente independentes.

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