Calcule as integrais iteradas abaixo:
c) integral1^2 integral0^1(e^x+y+x^2+ln y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral1^2integral0^1(e^x+y+x^2+ln y),dx,dy. O conteúdo é integração iterada: vamos primeiro integrar em x e depois em y, usando regras básicas de integrais de exponencial, polinômio e logaritmo.

Passo 2

Na integral interna em x separam-se três termos e calcula-se cada um:
integral0^1e^x+y,dx = e^yintegral0^1e^x,dx = e^y[e^x]0^1 = e^y(e-1),
integral0^1x^2,dx = 13,
integral0^1ln y,dx = ln ycdot(1-0) = ln y

Passo 3

Portanto a integral interna vale
integral0^1(e^x+y+x^2+ln y),dx = e^y(e-1) + 13 + ln y

Passo 4

Agora montamos a integral externa em y, separando os termos:
integral1^2l[e^y(e-1) + 13 + ln yr]dy = (e-1)integral1^2e^ydy + integral1^213dy + integral1^2ln y,dy

Passo 5

Calculando cada parte:
(e-1)integral1^2e^ydy = (e-1)(e^2-e) = e(e-1)^2,
integral1^213dy = 13(2-1) = 13,
integral1^2ln y,dy = [yln y - y]1^2 = (2ln2-2) - (0-1) = 2ln2 -1
Somando e simplificando, obtemos o resultado final.

Passo 6

Resposta

e(e-1)^2 + 2ln(2) - 23

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