Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a derivada da função $ f(x) = \int_{x{2}}{\cos x} e{t{2}} , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, a gente vai precisar entender um pouco sobre derivadas de integrais com limites variáveis e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo parte 1, que basicamente nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função em relação a $ x $ pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites e multiplicando pelas derivadas desses limites. A fórmula geral fica assim:
Isso significa que vamos precisar derivar os limites de integração e multiplicar pelo que está dentro da integral avaliado nesses limites.
Passo 3
Vamos identificar as partes do nosso problema:
- $ a(x) = x^{2} $ (limite inferior)
- $ b(x) = \cos x $ (limite superior)
- $ f(t) = e{t{2}} $ (função dentro da integral)
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
- $ a’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $
- $ b’(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na nossa função $ f(x) $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é: