Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da seguinte função
f(x)=integralx^2^cos x e^t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a derivada da função $ f(x) = \int_{x{2}}{\cos x} e{t{2}} , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, a gente vai precisar entender um pouco sobre derivadas de integrais com limites variáveis e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo parte 1, que basicamente nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função em relação a $ x $ pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites e multiplicando pelas derivadas desses limites. A fórmula geral fica assim:
x
Isso significa que vamos precisar derivar os limites de integração e multiplicar pelo que está dentro da integral avaliado nesses limites.

Passo 3

Vamos identificar as partes do nosso problema:
  • $ a(x) = x^{2} $ (limite inferior)
  • $ b(x) = \cos x $ (limite superior)
  • $ f(t) = e{t{2}} $ (função dentro da integral)
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
  • $ a’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $
  • $ b’(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na nossa função $ f(x) $:
f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = e^b(x)^2 cdot b'(x) - e^a(x)^2 cdot a'(x)

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x) = - e^cos^2 x cdot sin x - 2x cdot e^x^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = - e^cos^2 x cdot sin x - 2x cdot e^x^4

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