Calcule as integrais iteradas abaixo: c) integral1^2 integral0^1(e^x+y+x^2+ln y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada: integral1^2 integral0^1(e^x+y+x^2+ln y) dx , dy. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Precisamos lembrar de como integrar funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x:
integral0^1(e^x+y+x^2+ln y) dx
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar:
integral0^1 e^x+y dx + integral0^1 x^2 dx + integral0^1 ln y , dx

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de e^x+y em relação a x:
    integral e^x+y dx = e^x+y + C
    Avaliando de 0 a 1:
    e^1+y - e^0+y = e^y+1 - e^y
  2. Integral de x^2 em relação a x:
    integral x^2 dx = x^33 + C
    Avaliando de 0 a 1:
    1^33 - 0^33 = 13
  3. Integral de ln y em relação a x:
    integral ln y , dx = ln y cdot x + C
    Avaliando de 0 a 1:
    ln y cdot 1 - ln y cdot 0 = ln y

Passo 4

Agora, somamos os resultados das três integrais:
e^y+1 - e^y + 13 + ln y
Isso simplifica para:
e^y(e - 1) + 13 + ln y

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 ( e^y(e - 1) + 13 + ln y ) dy
Vamos novamente dividir essa integral em três partes:
(e - 1) integral1^2 e^y dy + 13 integral1^2 dy + integral1^2 ln y , dy

Passo 6

Resolvendo cada integral:
  1. Integral de e^y em relação a y:
    integral e^y dy = e^y + C
    Avaliando de 1 a 2:
    e^2 - e^1 = e^2 - e
  2. Integral de 13 em relação a y:
    13 integral dy = 13 y + C
    Avaliando de 1 a 2:
    13(2) - 13(1) = 23 - 13 = 13
  3. Integral de ln y em relação a y:
    Para integrar ln y, usamos integração por partes:
    integral ln y , dy = y ln y - y + C
    Avaliando de 1 a 2:
    (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1) = 2 ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2 ln 2 - 1

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados:
(e - 1)(e^2 - e) + 13 + (2 ln 2 - 1)
Simplificando:
(e - 1)e^2 - (e - 1)e + 13 + 2 ln 2 - 1
Isso pode ser deixado assim ou simplificado numericamente para obter uma resposta final aproximada.

Resposta

A integral avaliando os limites fornecidos resulta em:
(e - 1)e^2 - (e - 1)e + 13 + 2 ln 2 - 1
Que pode ser calculada numericamente para obter o valor final.

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