Calcule as integrais iteradas abaixo: c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Precisamos lembrar de como integrar funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
-
Integral de
em relação a : Avaliando de 0 a 1: -
Integral de
em relação a : Avaliando de 0 a 1: -
Integral de
em relação a : Avaliando de 0 a 1:
Passo 4
Agora, somamos os resultados das três integrais:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
de 1 a 2:
Vamos novamente dividir essa integral em três partes:
Passo 6
Resolvendo cada integral:
-
Integral de
em relação a : Avaliando de 1 a 2: -
Integral de
em relação a : Avaliando de 1 a 2: -
Integral de
em relação a :
Para integrar, usamos integração por partes: Avaliando de 1 a 2:
Passo 7
Agora, somamos todos os resultados:
Simplificando:
Isso pode ser deixado assim ou simplificado numericamente para obter uma resposta final aproximada.
Resposta
A integral avaliando os limites fornecidos resulta em:
Que pode ser calculada numericamente para obter o valor final.