A negação de um inteiro [(a, b)] é definida por
-[(a, b)]:=[(b, a)]
Mostre que, seja qual for o inteiro x, vale
x+(-x)=0, onde 0=[(0,0)].

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que pra qualquer número inteiro $ x $, ao somar ele com o seu negativo, a gente chega no zero. Aqui, os inteiros estão sendo representados por pares ordenados $ [(a, b)] $, onde a negação é definida como $ -[(a, b)] = [(b, a)] $. Vamos precisar entender como somar esses pares e como a negação funciona para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a soma de dois inteiros $ [(a, b)] $ e $ [(c, d)] $ funciona. A soma é definida como:
[(a, b)]
Isso significa que somamos as primeiras componentes e as segundas componentes separadamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para somar $ x $ com o seu negativo $ -x $. Seja $ x = [(a, b)] $, então:
x
Então, a soma fica:
-x

Passo 4

Observamos que $ a + b $ é igual a $ b + a $ porque a adição é comutativa. Então, temos:
a + b
Isso significa que estamos representando o zero, já que o par ordenado tem valores iguais em ambas as posições.

Passo 5

Então, concluímos que:
x + (-x) = [(a + b, a + b)] = [(0, 0)]
E $ [(0, 0)] $ é definido como o zero $ 0 $.

Resposta

Portanto, para qualquer inteiro $ x $, vale que $ x + (-x) = 0 $.

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