A negação de um inteiro
é definida por
Mostre que, seja qual for o inteiro
, vale
, onde
.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que pra qualquer número inteiro $ x $, ao somar ele com o seu negativo, a gente chega no zero. Aqui, os inteiros estão sendo representados por pares ordenados $ [(a, b)] $, onde a negação é definida como $ -[(a, b)] = [(b, a)] $. Vamos precisar entender como somar esses pares e como a negação funciona para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a soma de dois inteiros $ [(a, b)] $ e $ [(c, d)] $ funciona. A soma é definida como:
Isso significa que somamos as primeiras componentes e as segundas componentes separadamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para somar $ x $ com o seu negativo $ -x $. Seja $ x = [(a, b)] $, então:
Então, a soma fica:
Passo 4
Observamos que $ a + b $ é igual a $ b + a $ porque a adição é comutativa. Então, temos:
Isso significa que estamos representando o zero, já que o par ordenado tem valores iguais em ambas as posições.
Passo 5
Então, concluímos que:
E $ [(0, 0)] $ é definido como o zero $ 0 $.
Resposta
Portanto, para qualquer inteiro $ x $, vale que $ x + (-x) = 0 $.