Seja f: A B uma função. Sejam X subset A e Y subset B.
Mostre que X cap f^-1(Y) subset f^-1(f(X) cap Y).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma função f: A to B, conjuntos Xsubset A e Ysubset B. Queremos mostrar que X cap f^-1(Y) subset f^-1(f(X) cap Y). Vamos usar a definição de imagem, pré-imagem e propriedades de interseção.

Passo 2

Seja um elemento arbitrário ain X cap f^-1(Y). Pela definição de interseção, temos ain X e ain f^-1(Y). Pela definição de pré-imagem, ain f^-1(Y) implica f(a)in Y.

Passo 3

Como ain X, pela definição de imagem vem f(a)in f(X). Juntando com f(a)in Y, concluímos que f(a)in f(X)cap Y.

Passo 4

Pela definição de pré-imagem, f(a)in f(X)cap Y implica ain f^-1(f(X)cap Y).

Passo 5

Como escolhemos a de forma arbitrária em Xcap f^-1(Y) e mostramos que a está em f^-1(f(X)cap Y), concluímos a inclusão desejada.

Resposta

X cap f^-1(Y) subset f^-1(f(X) cap Y)

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