Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes:
c) integral-pi / 2^pi / 2 integral0^pi sen x cos y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=-pi/2^pi/2integralx=0^pisin xcos y,dx,dy
além de interpretar o resultado como volume em R^3. O conteúdo é integrais duplas e interpretação volumétrica usando separação de variáveis.

Passo 2

Como a função se separa em sin xcdotcos y, escrevemos a integral como produto de duas integrais:
integraly=-pi/2^pi/2cos y,dy;times;integralx=0^pisin x,dx
Calculamos cada uma:

Passo 3

A primeira integral é
integral0^pisin x,dx = [-cos x]0^pi = (-cospi)-(-cos0)=1+1=2,
e a segunda é
integral-pi/2^pi/2cos y,dy = [sin y]-pi/2^pi/2 = 1-(-1)=2

Passo 4

Multiplicando os resultados obtemos
2times2 = 4

Passo 5

Como em 0<= x<=pi temos sin x>=0 e em -pi/2<= y<=pi/2 temos cos y>=0, a integral realmente mede o volume sob a superfície z=sin xcos y acima do retângulo no plano xy. A região é
D = (x,y,z)inR^3:;0<= x<=pi,;-tfracpi2<= y<=tfracpi2,;0<= z<=sin xcos y

Resposta

O valor da integral é 4, e ela representa o volume da região
D=(x,y,z)inR^3:0<= x<=pi, -tfracpi2<= y<=tfracpi2, 0<= z<=sin xcos y.

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