Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
f(x, y)=-2 x^4+x y^2+22 x y^2-1, P(-3,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis f(x,y)=-2x^4 + x y^2 + 22 x y^2 - 1 é contínua no ponto P(-3,-1). O conteúdo principal é continuidade de função de duas variáveis e uso do teorema do quociente, para o qual precisamos checar o domínio (denominador não nulo) no ponto.

Passo 2

Identificamos o numerador e o denominador de f. Sabemos que polinômios são contínuos em R^2, logo basta verificar se o denominador 2xy^2-1 é diferente de zero em P(-3,-1). Calculamos: 2cdot(-3)cdot(-1)^2 - 1 = -6 - 1 = -7, que é ≠ 0. Portanto, P pertence ao domínio de f.

Passo 3

Pelo teorema do quociente, como o numerador e o denominador são contínuos e o denominador não se anula em P, concluímos que f é contínua em P(-3,-1).

Passo 4

Para confirmar o valor da função (e do limite) em P, avaliamos o numerador em P: -2,(-3)^4 + (-3)(-1)^2 + 2 = -162 - 3 + 2 = -163. Então f(-3,-1)=-163-7=1637, igual ao limite.

Resposta

A função é contínua em P(-3,-1) e f(-3,-1)=\frac{163}{7}.

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