Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) 5 x yx^2+7 y^2

Passo 1

A questão pede o limite de uma função de duas variáveis:
Temos a função
f(x,y)=5xyx^2+7y^2
e queremos lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Vamos usar o método de investigar caminhos para ver se o limite é único.

Passo 2

Uma estratégia clássica é aproximar pela reta y=mx. Substituindo na função, obtemos:
f(x,mx)=5,x,(m x)x^2+7,(m x)^2 =5m,x^2x^2,(1+7m^2) =5m1+7m^2
Observe que esse valor não depende de x, apenas de m.

Passo 3

Como o valor de 5m1+7m^2 varia conforme escolhemos m (por exemplo, para m=0 0 e para m=1 5/8), concluímos que não existe um valor único para o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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