Calcule as integrais iteradas abaixo e indique de que regiões de R^3, elas podem ser consideradas volumes: c) integral-pi / 2^pi / 2 integral0^pi sen x cos y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integraly=-pi/2^pi/2integralx=0^pisin x,cos y,dx,dy e depois interpretar este valor como volume de um sólido em R^3. Vamos usar separação de variáveis e depois ver a região sob a superfície z=sin xcos y.

Passo 2

Como o integrando é produto de função de x por função de y, podemos separar a integral em dois fatores:
integraly=-pi/2^pi/2integralx=0^pisin x,cos y,dx,dy = l(integral0^pisin x,dxr);l(integral-pi/2^pi/2cos y,dyr)

Passo 3

Calcular o primeiro fator:
integral0^pisin x,dx = [-cos x]0^pi = -cos(pi)+cos(0) = -(-1)+1 = 2

Passo 4

Calcular o segundo fator:
integral-pi/2^pi/2cos y,dy = [sin y]-pi/2^pi/2 = sinl(tfracpi2r)-sinl(-tfracpi2r) = 1-(-1) = 2

Passo 5

Multiplicando os resultados temos 2times2=4. A interpretação volumétrica é que este valor é o volume do sólido limitado por
0<= x<= pi, -tfracpi2<= y<= tfracpi2, 0<= z<= sin xcos y

Resposta

O valor da integral é 4 e corresponde ao volume do sólido dado por
0<= x<= pi,; -tfracpi2<= y<= tfracpi2,; 0<= z<= sin xcos y.

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